設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
，|F1F2|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M、N兩點，在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．
分析：（1）利用
F2A
⊥
AQ
，求出Q的坐標，利用2
F1F2
+
F2Q
=
0
，可得F1為F2Q中點，結合|F1F2|=2，從而可求幾何量，即可得到橢圓C的方程；
（2）設出l方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合菱形對角線垂直，即(
PM
+
PN
)•
MN
=0，即可求得m的取值范圍．
解答：解：（1）設Q（x0，0），由F2（c，0），A（0，b）知
F2A
=（-c，b），
AQ
=（x0，-b），
∵
F2A
⊥
AQ
，∴-cx0-b2=0，
∴x0=-
b2
c
，
∵2
F1F2
+
F2Q
=
0
，∴F1為F2Q中點，
∴-
b2
c
+c=-2c，∴b2=3c2=a2-c2
∵|F1F2|=2，∴c=1，∴b=
3
，a=2
∴所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1        …6分
（2）由（1）知F2（1，0），l：y=k（x-1）
代入橢圓方程，可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0…8分
設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=
8k2
3+4k2
，
PM
+
PN
=（x1+x2-2m，y1+y2）
∵菱形對角線垂直，∴(
PM
+
PN
)•
MN
=0
即
y1+y2
x1+x2-2m
×k=-1 …11分
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，則k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
∴k2（
8k2
3+4k2
-2）+
8k2
3+4k2
-2m=0，
由已知條件知k≠0且k∈R，∴m=
k2
3+4k2
=
1
3
k2
+4
，∴0＜m＜
1
4

故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是0＜m＜
1
4
．…14分
點評：本題考查橢圓的方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞1）右焦點為F，它與直線l：y=k（x+1）相交于P、Q兩點，l與x軸的交點M到橢圓左準線的距離為d，若橢圓的焦距是b與d+|MF|的等差中項．
（1）求橢圓離心率e；
（2）設N與M關于原點O對稱，若以N為圓心，b為半徑的圓與l相切，且
OP
•
OQ
=-
5
3
求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左．右焦點分別為F1F2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且2
F1F2
+
F2Q
=
0
．
（1）若過A．Q．F2三點的圓恰好與直線l：x-
3
y-3=0相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點F2作斜率為k的直線l與橢圓C交于M．N兩點．試證明：
1
|F2M|
+
1
|F2N|
為定值；②在x軸上是否存在點P（m，0）使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出m的取值范圍，如果不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•鹽城一模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)恒過定點A（1，2），則橢圓的中心到準線的距離的最小值
5
+2
5
+2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若P 是橢圓上的一點，|
PF1
|+|
PF2
|=4，離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P 是第一象限內該橢圓上的一點，
PF1
•
PF2
=-
5
4
，求點P的坐標；
（3）設過定點P（0，2）的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e=
2
2
，以F1為圓心，|F1F2|為半徑的圓與直線x-
3
y-3=0相切．
（I）求橢圓C的方程；
（II）直線y=x交橢圓C于A、B兩點，D為橢圓上異于A、B的點，求△ABD面積的最大值．

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