等邊三角形的邊長為3,點、分別是邊、上的點,且滿足(如圖1).將△沿折起到△的位置,使二面角為直二面角,連結、 (如圖2).

（Ⅰ）求證:平面;
（Ⅱ）在線段上是否存在點,使直線與平面所成的角為?若存在,求出的長,若不存在,請說明理由.

（Ⅱ）在線段上存在點,使直線與平面所成的角為,此時

解析試題分析：（Ⅰ）二面角為直二面角,要證平面；只要證；
（Ⅱ）假設存在點,使直線與平面所成的角為，根據(jù)直線與平面所成的角的定義作出
直線與平面所成的角，設的長為，用表示，在直角中，
根據(jù)勾股定理列出方程，若方程有解則存在，否則不存在.或借助已有的垂直關系；也可以為坐標原點建立空間直角標系,求出平面的一個法向量 ，利用建立方程，解這個方程探求 點的存在性.
試題解析：證明:(1)因為等邊△的邊長為3,且,
所以,. 在△中,,
由余弦定理得
. 因為,
所以.          3分
折疊后有,因為二面角是直二面角,
所以平面平面  ,又平面平面,
平面,, 所以平面.    6分

(2)解法1:假設在線段上存在點,使直線與平面所成的角為.
如圖,作于點,連結、 ，
由(1)有平面,而平面,
所以,又, 所以平面,  
所以是直線與平面所成的角  ,          8分
設,則

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直圓O所在的平面，C是圓O上的點．

(1)求證：BC⊥平面PAC；
(2)設Q為PA的中點，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，平面，，，為的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，，分別是的中點．

（1）在線段上確定一點，使平面，并給出證明；
（2）證明平面平面，并求出到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

直三棱柱中，，，，D為BC中點.

（Ⅰ）求證：;
（Ⅱ）求證：;
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點．求證：

（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，點分別是棱的中點．

(1)求證：//平面；
(2)若平面平面，，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知、、為不在同一直線上的三點，且，.

（1）求證：平面//平面；
（2）若平面，且，，，求證：平面；
（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE=x，G是BC的中點。沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖) .

(1) 當x=2時，求證：BD⊥EG ；
(2) 若以F、B、C、D為頂點的三棱錐的體積記為f(x)，求f(x)的最大值；
(3) 當f(x)取得最大值時，求二面角D-BF-C的余弦值.

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