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（12分）如圖所示，四棱錐中，，，，

為的中點。

（I）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值。

解析:（I）證明：取的中點，連結和，

則又，

四邊形為平行四邊形，

又平面，平面

 平面

（Ⅱ）以為原點，以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，

如圖，則（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（2，0，0），

E（1，0，1），M（1，1，1），P（0，0，2），設直線與平面所成的角為，

      是中點， 

           面，  

      面即為面的法向量，

     

      。

      

（Ⅲ）設二面角的平面角為，平面的法向量為=（），

     則  

        不妨設則

      為平面的法向量，且

     

      

解法二：（I）同上；

（Ⅱ）連結，，是中點，。

      面 

      面

      就是直線與平面所成的角。

     

（Ⅲ）連結，取的中點，連結，過點作于連結，

     是的中點，是的中點，且

      面    又   

     就是二面角的平面角，設為。

     在中，

     
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC=PD=2AD，PD⊥底面ABCD，點E是PB的中點．
（I）證明：BC⊥PC；
（Ⅱ）證明：AE∥平面PDC；
（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PBC．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點，．

   （1）求證：平面；

   （2）求證：平面⊥平面．

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科目：高中數學 來源：2014屆山東省高二上學期期末模擬理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

在如圖所示的四棱錐中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，

為的中點．

（1）求證：MC∥平面PAD；

（2）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值．

 

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科目：高中數學 來源：2013屆山東省高三第二次質量檢測文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐中，為正方形， 分別是線段的中點. 求證：

（1）//平面 ； 

（2）平面⊥平面.

 

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科目：高中數學 來源：2013屆廣東省高二上學期期末考試理科數學試卷 題型：解答題

（本小題14分）如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,側棱底面,為的中點.

(1)求直線與所成角的余弦值;

(2)在側面內找一點,使平面，并分別求出點到和的距離.

 

 

 

 

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