一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為6的兩個全等的等腰直角三角形．
（Ⅰ）請畫出該幾何體的直觀圖，并求出它的體積；
（Ⅱ）用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1？如何組拼？試證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中點為E，求平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值．（改編）
考點：二面角的平面角及求法,由三視圖求面積、體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，四棱錐C1-ABCD．其中底面ABCD是邊長為6的正方形，高為CC1=6，由此能求出該幾何體的體積．
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，由VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D，推導(dǎo)出所拼圖形成立．
（Ⅲ）證法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點G，連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，連結(jié)HB1，則∠B1HB為平面AB1E與平面ABC所成二面角或其補角的平面角．由此能求出平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值．
（Ⅲ）證法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系，由向量能求出平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值．
解答： （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）該幾何體的直觀圖是有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．
如右圖中的四棱錐C1-ABCD．其中底面ABCD是邊長為6的正方形，高為CC1=6，
故所求體積是V=
1
3
×62×6=72（4分）
（Ⅱ）依題意，正方體的體積是原四棱錐體積的3倍，
故用3個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為6的正方體，
其拼法如圖2所示．
證明：∵面ABCD、面ABB1A1、面AA1D1D為全等的正方形，
于是VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D，
故所拼圖形成立．（4分）
（Ⅲ）證法一：設(shè)B1E，BC的延長線交于點G，連結(jié)GA，
在底面ABC內(nèi)作BH⊥AG，垂足為H，
連結(jié)HB1，則B1H⊥AG，
故∠B1HB為平面AB1E與平面ABC所成二面角或其補角的平面角．
在Rt△ABG中，AG=
180
，則BH=
6×12
180
=
12
5
，
B1H=
BH2+BB12
=
18
5
，cos∠B1HB=
HB
HB1
=
2
3
，
故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為±
2
3
．（6分）
（Ⅲ）法二：以C為原點，CD、CB、CC1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖3），
∵正方體棱長為6，則E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）．
設(shè)向量n=（x，y，z），滿足n⊥
EB1
，n⊥
AB1
，
于是
6y+3z=0
-6x+6z=0
，解得
x=z
y=-
1
2
z
．
取z=2，得n=（2，-1，2）．又
BB1
=（0，0，6），
cos＜
n
， 
BB1
＞=
n
•
BB1
|
n
||
BB1
|
=
12
18
=
2
3

故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為±
2
3
．（6分）
點評：本題考查幾何體的直觀圖的求法，考查并它的體積的求法，考查用多少個這樣的幾何體可以拼成一個棱長為6的正方體，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．
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a
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π
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，
c
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π
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，
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8
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a
•
b
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1
2
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π
6
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π
6
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θ
2
＞cot
θ
2
，且sin
θ
2
＞cos
θ
2
．其中所有正確命題的序號是
 
．

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