在等比數(shù)列{an}中,公比q>1,且滿足a2+a3+a4=28,a3+2是a2與a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=log2 an+5,且數(shù)列{bn}的前n的和為Sn,求數(shù)列{
Snn
}的前n項(xiàng)的和Tn
分析:(1)利用a2+a3+a4=28,a3+2是a2與a4的等差中項(xiàng),建立方程,求出數(shù)列的公比,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)確定數(shù)列{bn}的通項(xiàng)及前n的和,求得數(shù)列{
Sn
n
}的通項(xiàng),即可求和.
解答:解:(1)∵a2+a3+a4=28,∴a1q+a1q2+a1q3=28①;又a3+2是a2、a4的等差中項(xiàng)得到2(a1q2+2)=a1q+a1q3②.
由①得:a1q(1+q+q2)=28③,由②得:a1q2=8,a1q+a1q3=20即a1q(1+q2)=20④
③÷④得
1+q+q2
1+q2
=
7
5

∴2q2-5q+2=0
∴q=2或q=
1
2

∵q>1,∴q=2
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a3qn-3=2n;
(2)∵an=2n,∴bn=log2 an+5=n+5,∴b1=6
∴數(shù)列{bn}是以6為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
∴Sn=
(n+11)n
2

Sn
n
=
n+11
2

∴數(shù)列{
Sn
n
}是以6為首項(xiàng),
1
2
為公差的等差數(shù)列,
∴Tn=
n(6+
n+11
2
)
2
=
n2+23n
4
點(diǎn)評(píng):本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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