【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= x2﹣mlnx,g(x)=x2﹣(m+1)x,m>0.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m≥1時(shí),討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】
(1)解:f(x)的定義域是(0,+∞),m>0,

f′(x)= ,

令f′(x)>0,解得:x> ,令f′(x)<0,解得:x< ,

∴f(x)在(0, )遞減,在( ,+∞)遞增


(2)解:f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),

即函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,

h′(x)=﹣ ,

令h′(x)>0,解得:1<x<m,令h′(x)<0,解得:x>m或x<1,

∴h(x)在(0,1)遞減,在(1,m)遞增,在(m,+∞)遞減,

∴h(x)極小值=h(1)=m+ >0,

∴h(x)和x軸有1個(gè)交點(diǎn),

即函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1個(gè)


【解析】(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)=﹣ x2﹣mlnx+(m+1)x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,通過求導(dǎo),得到函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間,求出h(x)的極小值,從而求出函數(shù)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f(x)和g(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚,從中任取2枚棋子都是白色的概率為. 現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,……,取后均不放回,直到有一人取到白棋即終止. 每枚棋子在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的.表示取棋子終止時(shí)所需的取棋子的次數(shù).

(1)求隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)求甲取到白棋的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與軸的正半軸重合,兩坐標(biāo)系單位長度相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù))。

(Ⅰ)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)曲線上到直線的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為,求的解析式

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)和直線l 的距離相等.

(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程;

(Ⅱ)已知不與垂直的直線與曲線E有唯一公共點(diǎn)A,且與直線的交點(diǎn)為,以AP為直徑作圓.判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)舉行了一次環(huán)保知識(shí)競賽活動(dòng).為了了解本次競賽學(xué)生成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得分取正整數(shù),滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照,,,的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在的數(shù)據(jù)).

(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y的值;

(2)在選取的樣本中,從競賽成績是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)到市政廣場參加環(huán)保知識(shí)宣傳的志愿者活動(dòng),求所抽取的2名同學(xué)來自不同組的概率.

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【題目】“現(xiàn)代五項(xiàng)”是由現(xiàn)代奧林匹克之父顧拜旦先生創(chuàng)立的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目,包含射擊、擊劍、游泳、馬術(shù)和越野跑五項(xiàng)運(yùn)動(dòng).已知甲、乙、丙共三人參加“現(xiàn)代五項(xiàng)”.規(guī)定每一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的前三名得分都分別為,,),選手最終得分為各項(xiàng)得分之和.已知甲最終得22分,乙和丙最終各得9分,且乙的馬術(shù)比賽獲得了第一名,則游泳比賽的第三名是

A. B. C. D. 乙和丙都有可能

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx=ex(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),gx= x+mm,nR).

1)若Tx=fxgx),m=1,求Tx)在[0,1]上的最大值;

2)若m=,nN*,求使fx)的圖象恒在gx)圖象上方的最大正整數(shù)n[注意:7e2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(﹣x2+ax)ex(x∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(﹣1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線的方程為,過點(diǎn)的一條直線與拋物線交于兩點(diǎn),若拋物線在兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn).

(1)求點(diǎn)的軌跡方程;

(2)設(shè)直線與直線的夾角為,求的取值范圍.

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