Question

定義域為R的偶函數f（x）滿足對任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  3

  3

  ）
• B、（0，

  2

  2

  ）
• C、（0，

  5

  5

  ）
• D、（0，

  6

  6

  ）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：由題意可判斷函數f（x）是定義在R上的，周期為2的偶函數，令g（x）=log_a（x+1），畫出f（x）與g（x）在[0，+∞）的部分圖象如下圖，將y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點可化為f（x）與g（x）的圖象在（0，+∞）上至少有三個交點，從而解出a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
令x=-1，則f（1）=f（-1）-f（1），
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
∴f（1）=0．
∴f（x）=f（x+2），
則函數f（x）是定義在R上的，周期為2的偶函數，
又∵當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，
令g（x）=log_a（x+1），則f（x）與g（x）在[0，+∞）的部分圖象如下圖

y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三個零點可化為f（x）與g（x）的圖象在（0，+∞）上至少有三個交點，
g（x）在（0，+∞）上單調遞減，
則

0＜a＜1 loga3＞-2

，
解得：0＜a＜

3

3

，
故選A．

點評：本題考查了數形結合的思想，同時考查了學生的作圖能力與轉化能力，屬于基礎題．