Question

(本小題滿分12分)

 過點P（1，4）作直線L，直線L與x,y的正半軸分別交于A,B兩點，O為原點,

①△ABO的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程；

②當|OA|+|OB|最小時，求此時直線L的方程

 

Answer 1

【答案】

解：依題意可設直線l的方程為:(a>0 , b>0 )

則A(a , 0 ), B(0,b ), 直線L過點P（1，4）, ∴ , ……………2分

又a>0 , b>0

∴

………………4分

當且僅當取等號, S的最小值為8

此時直線方程為：，即：4x + y - 8＝0…………………6分

②|OA|+|OB|= a + b = (a + b )()=5 + ……8分

當且僅當取等號, ……10分

|OA|+|OB|的值最小, 此時直線方程為：即：2x + y - 6＝0……12分

法二：①依題意可設直線l的方程為:y-4 = k ( x -1 ) ( k<0 )

令 x = 0 , 則y = 4 – k ,B( 0 , 4-k) ;令 y = 0 , 則x =+1 ,A (+1, 0)…2分

S =(4-k)( +1)= (- k + 8 )≥8 ，…………4分

當且僅當-16/k = -k時，即 k = -4時取等號, S的最小值為8 ，

此時直線方程為：y-4 = -4( x -1 )，即：4x + y - 8＝0…………6分

②|OA|+|OB|=( +1) + (4-k) = -k + 5 ≥4 + 5 =9 ，……8分

當且僅當= -k時，即 k = -2時取等號, |OA|+|OB|的值最小, ……………10分

此時直線方程為：:y-4 = -2 ( x -1 )  即：2x + y - 6＝0……………12分

【解析】略