Question

已知函數(shù)f（x）=

x-2

x+1

．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）設a＞1，證明方程a^x+f（x）=0沒有負根．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）用函數(shù)單調性的定義即可證明函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上的單調性；
（2）可以用反證法證明，基本步驟是假設結論不成立，由假設出發(fā)，經過推理證明，得出與假設矛盾的結論，從而證明假設不成立．

解答： 解：（1）證明：設x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
則x₁+1＞0，x₂+1＞0，…（2分）
∴f(x2)-f(x1)=

x2-2

x2+1

-

x1-2

x1+1

=

3(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

＞0；…（5分）
∴f（x₁）＜f（x₂），…（6分）
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；…（7分）
（2）證明：假設存在x₀＜0（x₀≠-1），滿足ax0+f(x0)=0，…（8分）
則ax0=-

x0-2

x0+1

，…（10分）
且0＜ax0＜1；
∴0＜-

x0-2

x0+1

＜1，即

1

2

＜x0＜2；…（12分）
這與假設x₀＜0矛盾，
∴方程a^x+f（x）=0沒有負根． …（14分）

點評：本題考查了關于函數(shù)的性質與應用的證明問題，解題時應根據(jù)題目的特點，進行分析與證明，是基礎題．