Question

6．對于數(shù)列{a_n}，記S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，Π_n=a₁a₂a₃…a_n．在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₅=$\frac{1}{4}$，a₆+a₇=$\frac{3}{2}$，則滿足S_n＞Π_n的最大正整數(shù)n的值為（　�。�

• A． 12
• B． 13
• C． 14
• D． 15

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公比為q，由題意可得關(guān)于這兩個量的方程組，解之可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和a₁+a₂+…+a_n及a₁a₂…a_n的表達(dá)式，化簡可得關(guān)于n的不等式，解之可得n的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，等比數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)為a₁，公比為q，
又由a₅=$\frac{1}{4}$，a₆+a₇=$\frac{3}{2}$，
則有a₁q⁴=$\frac{1}{4}$，a₁q⁵+a₁q⁶=$\frac{3}{2}$，
解可得a₁=$\frac{1}{64}$=2^n-7，q=2，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{\frac{1}{64}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{64}$，
Π_n=a₁a₂a₃…a_n．=2^-6•2^-5•2^-4•…•2^n-7=${2}^{\frac{（n-13）n}{2}}$，
若S_n＞Π_n，即$\frac{{2}^{n}-1}{64}$＞${2}^{\frac{（n-13）n}{2}}$，
化簡可得：2ⁿ-1＞$2\frac{（n-13）n}{2}+6$，
只需滿足n＞$\frac{（n-13）n}{2}$+6，
解可得$\frac{15-\sqrt{177}}{2}$＜n＜$\frac{13+\sqrt{177}}{2}$，
由于n為正整數(shù)，因此n最大值為13；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，關(guān)鍵是求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比．