Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-2x2+ax(a∈R）在其圖象上一點A（2，m）處切線的斜率為-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（b-1，b）內(nèi)的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）導(dǎo)數(shù)在切點處的值是切線的斜率
（Ⅱ）導(dǎo)數(shù)為零處且其左右兩側(cè)符號相反是極值，注意極值是函數(shù)值，一定在定義域內(nèi)求．

解答：解：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x²-4x+a，
由題意，得f'（2）=-4+a=-1，
所以a=3，
故f(x)=

1

3

x3-2x2+3x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=x²-4x+3，
由f'（x）=x²-4x+3=0，得x=1，或x=3．
x變化時，f'（x），f（x）的變化如情況下表：

所以，當(dāng)b≤1或b-1≥3時，即b≤1或b≥4函數(shù)f（x）無極值
當(dāng)b-1＜1，且b＞1時，即1＜b＜2時，函數(shù)f（x）在x=1時，有極大值

4

3

，此時函數(shù)無極小值；
當(dāng)b-1＜3，且b＞3時，即3＜b＜4時，函數(shù)f（x）在x=3時，有極小值0，此時函數(shù)無極大值；
當(dāng)b-1≥1，且b≤3時，即2≤b≤3時，函數(shù)f（x）無極值．
故當(dāng)b∈（-∞，1]∪[2，3]∪[4，+∞）時，函數(shù)f（x）無極值；
當(dāng)b∈（1，2）時，函數(shù)f（x）在x=1時，有極大值

4

3

，此時函數(shù)無極小值；
當(dāng)b∈（3，4）時，函數(shù)f（x）在x=3時，有極小值0，此時函數(shù)無極大值．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)求極值．
導(dǎo)數(shù)是解決極值的唯一方法，函數(shù)中有參數(shù)時一般需討論．