Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，并且$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n≥2）$．則a₁₀+a₁₁=（　　）

• A． $\frac{19}{2}$
• B． $\frac{21}{2}$
• C． $\frac{21}{55}$
• D． $\frac{23}{66}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到a_n，則答案可求．

解答 解：由$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{2}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n+1}}}}（n≥2）$，得$\frac{1}{{a}_{n-1}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}為等差數(shù)列，
又a₁=2，a₂=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差為d=$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n}$．
則a₁₀+a₁₁=$\frac{2}{10}+\frac{2}{11}=\frac{21}{55}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．