Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-

1

2x

，數(shù)列{a_n}滿足f（log₂a_n）=-2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）由已知結(jié)合f（log₂a_n）=-2n得到數(shù)列遞推式，整理后求解關(guān)于a_n的一元二次方程得答案；
（2）直接利用作商法證明數(shù)列是遞減數(shù)列．

解答： （1）解：∵f（x）=2^x-

1

2x

，f（log₂a_n）=-2n，
∴2log2an-2-log2an=-2n，an-

1

an

=-2n，
∴an2+2nan-1=0，解得an=-n±

n2+1

，
∵a_n＞0，
∴an=

n2+1

-n，n∈N^*；
（2）證明：

an+1

an

=

(n+1)2+1 -(n+1)

n2+1 -n

=

n2+1 +n

(n+1)2+1 +(n+1)

＜1，
∵a_n＞0，
∴a_n+1＜a_n，
∴數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列遞推式，訓練了利用作商法證明數(shù)列是遞減數(shù)列，是中檔題．