Question

如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，,.將菱形沿對(duì)角線折起，使，得到三棱錐.

（Ⅰ）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.   

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

所以是的中位線，.                    

因?yàn)?sub>平面,平面,

所以平面.                          

（Ⅱ）解：由題意，，因?yàn)?sub>，

所以，.又因?yàn)榱庑?sub>，所以，.

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

.

所以                   

設(shè)平面的法向量為，

則有即：

令，則，所以.          

因?yàn)?sub>,所以平面.    

平面的法向量與平行，

所以平面的法向量為.                      

，因?yàn)槎�面�?sub>是銳角，

所以二面角的余弦值為.              

（Ⅲ）解：因?yàn)?sub>是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，

則，所以，                              

則，，

由得，即，

解得或，                                      

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）