Question

平面直角坐標(biāo)系xoy中，y軸上有一點(diǎn)A（0，1），在x軸上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作P A的垂線l．
（1）若l過點(diǎn)Q（3，2），求點(diǎn)P應(yīng)取在何處；
（2）直線l能否過點(diǎn)R（3，3），并說明理由；
（3）點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)時(shí)，試確定直線l移動(dòng)的區(qū)域（即直線l可以經(jīng)過的點(diǎn)的集合），并在給定的坐標(biāo)系中用陰影部分表示出來．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用P A的垂線l的關(guān)系，求出P 的坐標(biāo)；
（2）直線l能否過點(diǎn)R（3，3），只需驗(yàn)證P A的垂線l是否成立，就是斜率之積等于-1，方程有解就通過；
（3）點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)時(shí)，設(shè)直線l經(jīng)過B（x，y），P（a，0），利用方程有解，推出直線l可以經(jīng)過的點(diǎn)的集合，在坐標(biāo)系中用陰影部分表示出來，即可．

解答：解：（1）設(shè)P（a，0），由題意知AP⊥l，∴

0-1

a-0

×

0-2

a-3

=-1，∴a=1，或 a=2，
∴P （1，0） 或P（2，0）．
（2）假設(shè)直線l能否過點(diǎn)R（3，3），由題意知AP⊥l，∴

0-1

a-0

•

0-3

a-3

=-1，
a²-3a+3=0，判別式△=9-12＜0，故方程a²-3a+3=0 無解，故直線l不能過點(diǎn)R（3，3）．

（3）可設(shè)直線l經(jīng)過B（x，y），P（a，0），
所以PB的方程為：y=ax-a²，即：a²-ax+y=0方程有解，所以x²-4y≥0，
即：y≤

x2

4

，就是直線l可以經(jīng)過的點(diǎn)的集合在拋物線x²=4y上以及下部部分，如圖：

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查直線過定點(diǎn)的問題，直線的垂直的應(yīng)用，考查方程思想，繪圖能力，計(jì)算能力．