Question

若函數(shù)y=f（x）=sinx+

3

cosx+2，x∈[0，2π），且關(guān)于x的方程f（x）=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根α，β，則sin（α+β）=（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  1

  2

  或

  3

  2

• D．無法確定

Answer 1

分析：利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=2sin（x+

π

3

 ）+2，由題意可得  2sin（x+

π

3

）+2=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根α，β．且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于直線x+

π

3

=

π

2

或直線 x+

π

3

=

3π

2

對(duì)稱，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．

解答：解：函數(shù)y=f（x）=sinx+

3

cosx+2=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx ）+2=2sin（x+

π

3

 ）+2．
再由x∈[0，2π）可得

π

3

≤x+

π

3

＜2π+

π

3

，故-1≤sin（x+

π

3

）≤1，故0≤f（x）≤4．
由題意可得  2sin（x+

π

3

）+2=m有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根α，β，
且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根關(guān)于直線x+

π

3

=

π

2

或直線 x+

π

3

=

3π

2

對(duì)稱，
故有 

α+ π 3 +β+ π 3

2

=

π

2

，或

α+ π 3 +β+ π 3

2

=

3π

2

，故 α+β=

π

3

 或  α+β=

7π

3

，
故 sin（α+β）=

3

2

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．