Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且sinC=2sinA．
（1）求cosB的值；
（2）若△ABC的面積為

7

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b，c成的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式得到關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入計(jì)算即可求出值；
（2）由cosB的值，及B為三角形的內(nèi)角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，由三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinB的值代入求出ac的值，即可求出a的值．

解答：解：（1）∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
利用正弦定理化簡(jiǎn)sinC=2sinA得：c=2a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

；
（2）∵cosB=

3

4

，B為三角形的內(nèi)角，
∴sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

7

8

ac=

7

，
∴ac=8，又c=2a，
∴2a²=8，即a²=4，
則a=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．