Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，設(shè)，是函數(shù)圖像上的任意兩點（），記直線AB的斜率為，求證：.

 

Answer 1

（1）（i）當時，的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間.

（ii）當時，的單增區(qū)間為，，

單減區(qū)間為.

（iii）當時，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.

（2）見解析．

【解析】

試題分析：（1）首先求出函數(shù)的導數(shù)，注意到函數(shù)的定義域是；不等式，故只需按的正，負和零分別討論，在討論的過程中當的情形注意再按兩根的大小討論即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（2）先求得，再將直線AB的斜率為用表示出來得到，然后用比差法求得注意到，故欲證，只須證明：因為，故即證：，

令，構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)證明在上是增函數(shù)，從而可得，進而得所證不等式成立．

試題解析：（1）【解析】
1分

（i）當時， 恒成立，即恒成立，

故函數(shù)的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間. 2分

（ii）當時，，

解得：

∵，∴函數(shù)的單增區(qū)間為，，

單減區(qū)間為. 4分

（iii）當時，由解得：.

∵，而此時，∴函數(shù)的單增區(qū)間為，

單減區(qū)間為. 6分

綜上所述：

（i）當時，的單增區(qū)間為，無單減區(qū)間.

（ii）當時，的單增區(qū)間為，，

單減區(qū)間為.

（iii）當時，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為. 7分

（2）證明：

由題，

則：

9分

注意到，故欲證，只須證明：. 10分

因為，故即證：

11分

令， 12分

則： 故在上單調(diào)遞增.

所以： 13分

即：，即：所以：. 14分

考點：1．利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2．利用導數(shù)證明不等式．