Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若A、B兩點(diǎn)同時(shí)滿足：
①點(diǎn)A、B都在函數(shù)y=f（x）圖象上；
②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對（A，B）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“姐妹點(diǎn)對”（注：點(diǎn)對（A，B）與（B，A）為同一“姐妹點(diǎn)對”）．
已知函數(shù)g（x）=a^x-x-a，（a＞0，a≠1）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，g（x）有

 

個(gè)“姐妹點(diǎn)對”；
（2）當(dāng)g（x）有“姐妹點(diǎn)對”時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，化簡g（x）的表達(dá)式，利用定義求出x的值，判斷“姐妹點(diǎn)對”的個(gè)數(shù)；
（2）g（x）有“姐妹點(diǎn)對”，利用定義通過基本不等式即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵

y=2x-x-2 -y=2-x+x-2

⇒2x+2-x-4=0⇒2x=2±

3

⇒x=log2(2±

3

)
當(dāng)x=log2(2+

3

)時(shí)
，A(log2(2+

3

)，

3

-log2(2+

3

))，
B(-log2(2+

3

)，-

3

+log2(2+

3

))；
當(dāng)x=log2(2-

3

)時(shí)，
A(log2(2-

3

)，-

3

-log2(2-

3

))，
B(-log2(2-

3

)，

3

+log2(2-

3

))．
故兩種情況的“姐妹點(diǎn)對”一樣，答案只有一對．
故答案為：1．
（2）

y=ax-x-a -y=a-x+x-a

⇒2a=ax+a-x＞2⇒a＞1．
故答案為：（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查新定義的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)以及基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．