Question

3．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-m|（m＞0）．
（1）若f（x）≥5恒成立，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，記m的最小值是m₀，若$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=m₀，則當a，b，c取何值時，a²+4b²+9c²取得最小值，并求出該最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的最小值，利用f（x）≥5恒成立，得到關(guān)于m的不等式，即可求m的取值范圍；
（2）由柯西不等式可得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+4b²+9c²）≥（1+4+9）²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-m|≥|x+1-x+m|=|1+m|，
∵f（x）≥5恒成立，
∴|1+m|≥5，
∴1+m≤-5或1+m≥5，
∵m＞0，
∴m≥4；
（2）m的最小值是m₀=4，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=4，
由柯西不等式可得（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+4b²+9c²）≥（1+4+9）²，
∴a²+4b²+9c²≥49，當且僅當$\frac{\frac{1}{a}}{a}=\frac{\frac{2}}{2b}=\frac{\frac{3}{c}}{3c}$，
即|a|=|b|=|c|=$\frac{\sqrt{14}}{2}$時a²+4b²+9c²取得最小值49．

點評 本題著重考查了運用柯西不等式求最值與柯西不等式的等號成立的條件等知識，屬于中檔題．