Question

已知函數(shù)f(x)=[2sin(x+

π

3

)+sinx]cosx-

3

sin2x，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x∈[0，

5π

12

]，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式括號中第一項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，去括號后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，
（Ⅰ）由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的最大值，即可得到m的取值范圍．

解答：解：f（x）=（sinx+

3

cosx+sinx）cosx--

3

sin²x
=2sinxcosx+

3

cos²x-

3

sin²x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
（Ⅰ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，即-1≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴-1≤f（x）≤2，即f（x）的最大值為2，
∵不等式f（x）＜m恒成立，
則m＞2．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式恒成立滿足的條件，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．