Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}（{a＞0}）$．
（Ⅰ） 若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 證明：當(dāng)a≥$\frac{2}{e}$時(shí)，f（x）＞e^-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；法二：求出a=-xlnx，令g（x）=-xlnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為xlnx+a＞xe^-x，令h（x）=xlnx+a，令φ（x）=xe^-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）法1：函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞）．
由$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$，得$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$．…（1分）
因?yàn)閍＞0，則x∈（0，a）時(shí)，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．…（2分）
當(dāng)x=a時(shí)，[f（x）]_min=lna+1．…（3分）
當(dāng)lna+1≤0，即0＜a≤$\frac{1}{e}$時(shí)，又f（1）=ln1+a=a＞0，則函數(shù)f（x）有零點(diǎn)．…（4分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{0，\frac{1}{e}}]$．…（5分）
法2：函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞）．
由$f（x）=lnx+\frac{a}{x}=0$，得a=-xlnx．…（1分）
令g（x）=-xlnx，則g'（x）=-（lnx+1）．
當(dāng)$x∈（{0，\frac{1}{e}}）$時(shí)，g'（x）＞0； 當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}，+∞}）$時(shí)，g'（x）＜0．
所以函數(shù)g（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）$上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上單調(diào)遞減．…（2分）
故$x=\frac{1}{e}$時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值$g（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}$．…（3分）
因而函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a}{x}$有零點(diǎn)，則$0＜a≤\frac{1}{e}$．…（4分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{0，\frac{1}{e}}]$．…（5分）
（Ⅱ） 要證明當(dāng)$a≥\frac{2}{e}$時(shí)，f（x）＞e^-x，
即證明當(dāng)x＞0，$a≥\frac{2}{e}$時(shí)，$lnx+\frac{a}{x}＞{e^{-x}}$，即xlnx+a＞xe^-x．…（6分）
令h（x）=xlnx+a，則h'（x）=lnx+1．
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)$x＞\frac{1}{e}$時(shí)，f'（x）＞0．
所以函數(shù)h（x）在$（{0，\frac{1}{e}}）$上單調(diào)遞減，在$（{\frac{1}{e}，+∞}）$上單調(diào)遞增．
當(dāng)$x=\frac{1}{e}$時(shí)，${[{h（x）}]_{min}}=-\frac{1}{e}+a$．…（7分）
于是，當(dāng)$a≥\frac{2}{e}$時(shí)，$h（x）≥-\frac{1}{e}+a≥\frac{1}{e}$．①…（8分）
令φ（x）=xe^-x，則φ'（x）=e^-x-xe^-x=e^-x（1-x）．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．
所以函數(shù)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
當(dāng)x=1時(shí)，${[{φ（x）}]_{max}}=\frac{1}{e}$．…（9分）
于是，當(dāng)x＞0時(shí)，$φ（x）≤\frac{1}{e}$．②…（10分）
顯然，不等式①、②中的等號(hào)不能同時(shí)成立．…（11分）
故當(dāng)$a≥\frac{2}{e}$時(shí)，f（x）＞e^-x．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、考查不等式的證明，是一道綜合題．