Question

平面內(nèi)有n(n∈N_＋，n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過
同一點，證明：交點的個數(shù)f(n)＝.

Answer 1

見解析

(1)當n＝2時，兩條直線的交點只有一個，
又f(2)＝×2×(2－1)＝1，
∴當n＝2時，命題成立．
(2)假設(shè)n＝k，∈N_＋，且(k>2)時，命題成立，即平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線交點個數(shù)f(k)＝k(k－1)，
那么，當n＝k＋1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線交點個數(shù)為f(k)＝k(k－1)，l與其他k條直線交點個數(shù)為k，從而k＋1條直線共有f(k)＋k個交點，
即f(k＋1)＝f(k)＋k＝k(k－1)＋k＝k(k－1＋2)＝k(k＋1)＝ (k＋1)[(k＋1)－1]，
這表明，當n＝k＋1時，命題成立．
由(1)、(2)可知，對n∈N_＋(n≥2)命題都成立．