Question

8．若x∈（0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，恒有4^x＜log_ax，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（1，\sqrt{2}）$
• D． $\sqrt{2}，2）$

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，不等式4^x＜log_ax恒成立，化為在0＜x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方，在同一坐標(biāo)系中，分別畫出指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，分析可得答案．

解答 解：當(dāng)0＜x≤$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=4^x的圖象如圖所示；
若不等式4^x＜log_ax恒成立，則
y=log_ax的圖象恒在y=4^x的圖象的上方（如圖中虛線所示）
∵y=log_ax的圖象與y=4^x的圖象交于（$\frac{1}{2}$，2）點(diǎn)時(shí)，
a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故虛線所示的y=log_ax的圖象對(duì)應(yīng)的底數(shù)a應(yīng)滿足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題以指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)為載體考查了函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．