Question

已知函數(shù)f(x)=x++b(x≠0),其中a,b∈R.

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為y=3x+1,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(3)若對(duì)于任意的a∈［,2］,不等式f(x)≤10在［,1］上恒成立,求b的取值范圍.

Answer 1

本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、綜合分析和解決問題的能力.

(1)解:f′(x)=1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f′(2)=3,于是a=-8.

由切點(diǎn)P(2,f(2))在直線y=3x+1上可得-2+b=7,解得b=9.

所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x+9.

(2)解:f′(x)=1.

當(dāng)a≤0時(shí),顯然f′(x)＞0(x≠0).

這時(shí)f(x)在(-∞,0),(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù).

當(dāng)a＞0時(shí),令f′(x)=0,

解得x=±.

當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x	(-∞,-)	-	(-,0)	(0,)		(,+∞)
f′(x)	+	0	-	-	0	+
f(x)	?↗	極大值	?↘	↘	極小值	↗

所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)內(nèi)是增函數(shù),

在(-,0),(0,)內(nèi)是減函數(shù).

(3)解:由(2)知,f(x)在［,1］上的最大值為f()與f(1)中的較大者,對(duì)于任意的a∈［,2］,不等式f(x)≤10在［,1］上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)即

對(duì)任意的a∈［,2］成立.

從而得b≤,所以滿足條件的b的取值范圍是(-∞,］.