Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=n（n+1），數(shù)列{b_n}滿足bn=3n•an．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）通過S_n求S_n-1，然后兩式相減得出a_n的遞推形式，an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，不要忘了驗(yàn)證

a

1

是否滿足a_n，從而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）先求出b_n，由形式判定求和用錯(cuò)位相減法，即先列出S_n，然后列出3S_n，讓S_n-3S_n，經(jīng)過計(jì)算，求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=n（n+1），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1（1+1）=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴a_n=2n．
（Ⅱ）∵bn=3n•an=2n•3ⁿ，
∴Sn=2×1×3+2×2×32+2×3×33+…+2×n×3ⁿ，①
3S_n=2×2×3²+2×2×3³+2×3×3⁴+…+2×n×3ⁿ⁺¹，②
①-②得-2S_n=2×1×3+2×1×3²+2×1×3³+…+2×1×3ⁿ-2×n×3ⁿ⁺¹
=2×

3(1-3n)

1-3

-2n•3ⁿ⁺¹
=3（3ⁿ-1）-2n•3ⁿ⁺¹
=3ⁿ⁺¹-3-2n•3ⁿ⁺¹
=（1-2n）•3ⁿ⁺¹-3，
∴Sn=

2n-1

2

•3n+1+

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，計(jì)算量較大，但思路清晰，是中檔題．