Question

19．已知拋物線E：y=ax²上三個不同的點A（1，1），B、C滿足關系式$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0．
（1）求拋物線E的方程；
（2）求△ABC的外接圓面積的最小值及此時△ABC的外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）點A（1，1），代入拋物線E：y=ax²，求出a，可得拋物線E的方程；
（2）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，可得AB⊥BC，從而△ABC的外接圓的直徑為|AC|，要使△ABC的外接圓面積最小，須|AC|最小，利用導數(shù)知識確定函數(shù)的單調性，即可得出結論．

解答 解：（1）∵1=a×1²，
∴a=1，
∴拋物線E的方程為y=x²…（2分）
（2）設$B（{x_1}，x_1^2）$，$C（{x_2}，x_2^2）$，則
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0$⇒（{x_1}-1）（{x_2}-{x_1}）+（x_1^2-1）（x_2^2-x_1^2）=0$
∵x₁≠1，x₁≠x₂，
∴1+（x₁+1）（x₁+x₂）=0，且x₁≠-1，
∴${x_2}=-（{x_1}+1+\frac{1}{{{x_1}+1}}）+1$
當x₁+1＞0時，x₂≤-1；當x₁+1＜0時，x₂≥3，
∴x₂∈（-∞，-1]∪[3，+∞）…（5分）
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=0，
∴AB⊥BC，從而△ABC的外接圓的直徑為|AC|
要使△ABC的外接圓面積最小，須|AC|最�。�
∵$|AC|=\sqrt{{{（{x_2}-1）}^2}+{{（x_2^2-1）}^2}}=\sqrt{x_2^4-x_2^2-2{x_2}+2}$
令f（x）=x⁴-x²-2x+2，x∈（-∞，-1]∪[3，+∞）
∴f'（x）=4x³-2x-2=（x-1）（4x²+4x+2）=（x-1）[（2x+1）²+1]，
∴x∈（-∞，-1]時，f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈[3，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）遞增
又f（-1）=4，f（3）=68，
∴|AC|_min=2，此時x₂=-1…（9分）
∴r=1，△ABC的外接圓面積S_min=π．…（10分）
∵x₂=-1，
∴C（-1，1），
∴△ABC的外接圓的圓心為（0，1），半徑r=1，
∴△ABC的外接圓方程為x²+（y-1）²=1…（12分）

點評 本題考查拋物線的方程，考查向量、導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．