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設θ∈R，n∈N+，i是虛數單位，復數z=cosθ+isinθ，觀察：z2=cos2θ+isin2θ，z3=cos3θ+isin3θ，…，得出一般性結論為：zn=
cosnθ+isinnθ
cosnθ+isinnθ
．
分析：復數z=cosθ+isinθ，觀察：z2=cos2θ+isin2θ，z3=cos3θ+isin3θ，…，得出一般性結論為：zn=cosnθ+isinnθ．可用數學歸納法證明．
解答：解：復數z=cosθ+isinθ，觀察：z2=cos2θ+isin2θ，z3=cos3θ+isin3θ，…，得出一般性結論為：zn=cosnθ+isinnθ．
故答案為cosnθ+isinnθ．
可用數學歸納法證明如下：
（1）當n=1時，復數z1=cosθ+isinθ，成立；
（2）假設當n=k時，zk=coskθ+isinkθ成立，
則當n=k+1時，zk+1=zk•z=（coskθ+isinkθ）（cosθ+isinθ）=coskθcosθ-sinkθsinθ+i（coskθsinθ+sinkθcosθ）
=cos（k+1）θ+isin（k+1）θ，
因此當n=k+1時，等式成立．
綜上（1）（2）可知：等式對于任何正整數n都成立．
點評：本題考查了歸納推理、棣莫弗定理、數學歸納法等基礎知識與基本技能方法，屬于基礎題．
練習冊系列答案
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