Question

4、在R上定義的函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且f（1+x）=f（1-x），若f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]上是單調(diào)

減

函數(shù)．

Answer 1

分析：因為函數(shù)在實數(shù)范圍內(nèi)是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x），取當(dāng)x₁＜x₂且x₁，x₂∈[1，2]f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)得到得到得f（x₁）＞f（x₂）；再取自變量x₃＜x₄，由已知f（1+x）=f（1-x），利用做差法判斷f（x₃）和f（x₄）大小即可得到增減性．

解答：解：由f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)得當(dāng)x₁＜x₂且x₁，x₂∈[1，2]得到f（x₁）＞f（x₂）；
又因為f（x）是偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）且f（1+x）=f（1-x），
則在[3，4]取兩個自變量x₃＜x₄，則f（x₃）-f（x₄）=f（x₃-2）-f（x₄-2）＞0
函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]上是單調(diào)減函數(shù)．
故答案為減．

點評：考查函數(shù)利用函數(shù)奇偶性的能力，以及對函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明的掌握能力．