Question

在空間四邊形ABCP中，PA⊥PC，PB⊥BC，AC⊥BC．PA、PB與平面ABC所成角分別為30°和45°．

(1)直線PC與AB能否垂直？證明你的結(jié)論；

(2)若點(diǎn)P到平面ABC的距離為h，求點(diǎn)P到直線AB的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)AB與PC不能垂直，證明如下：假設(shè)PC⊥AB，作PH⊥平面ABC于H，則HC是PC在平面ABC的射影，∴HC⊥AB，∵PA、PB在平面ABC的射影分別為HB、HA，PB⊥BC，PA⊥PC． 　　∴BH⊥BC，AH⊥AC 　　∵AC⊥BC，∴平行四邊形ACBH為矩形． 　　∵HC⊥AB，∴ACBH為正方形． 　　∴HB＝HA 　　∵PH⊥平面ACBH．∴ΔPHB≌ΔPHA． 　　∴∠PBH＝∠PAH，且PB，PA與平面ABC所成角分別為∠PBH，∠PAH．由已知∠PBH＝45°，∠PAH＝30°，與∠PBH＝∠PAH矛盾． 　　∴PC不垂直于AB． 　　(2)由已知有PH＝h，∴∠PBH＝45° 　　∴BH＝PH＝h．∵∠PAH＝30°，∴HA＝h． 　　∴矩形ACBH中，AB＝＝＝2h． 　　作HE⊥AB于E，∴HE＝＝＝h． 　　∵PH⊥平面ACBH，HE⊥AB， 　　由三垂線定理有PE⊥AB，∴PE是點(diǎn)P到AB的距離． 　　在RtΔPHE中，PE＝＝＝h． 　　即點(diǎn)P到AB距離為h． 　　評(píng)析：此題屬開放型命題，處理此類問題的方法是先假設(shè)結(jié)論成立，然后“執(zhí)果索因”，作推理分析，導(dǎo)出矛盾的就否定結(jié)論(反證法)，導(dǎo)不出矛盾的，就說明與條件相容，可采用演繹法進(jìn)行推理，此題(1)屬于反證法．

提示：

主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用及線面角，點(diǎn)面間距離等概念應(yīng)用，空間想象力及推理能力．