Question

16．已知直線l：3x+4y-12=0與x軸、y軸分別相交于A、B．
（1）求過點P（1，2）且在x軸、y軸上截距均相等的直線的方程；
（2）求與直線l、x軸、y軸都相切的圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設直線在x軸為a，y軸截距為b．
①當a=b=0時，直線過點（1，2）和（0，0），其方程為$\frac{y}{x}$=2，即3x-2y=0．
②當a=b≠0時，直線方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，把點（1，2）代入，由此能求出直線方程．
（2）確定圓心與半徑，即可求與直線l、x軸、y軸都相切的圓的方程．

解答 解：（1）設直線在x軸為a，y軸截距為b．
①當a=b=0時，直線過點（1，2）和（0，0），其方程為$\frac{y}{x}$=2，即3x-2y=0．
②當a=b≠0時，直線方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{a}$=1，把點（1，2）代入，得
$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{a}$=1，
解得a=3，
則該直線方程為x+y=3．
（2）解：由題意A（4，0），B（0，3），設圓的半徑為r，
則由等面積可得$\frac{1}{2}$×（3+4+5）r=$\frac{1}{2}$×3×4，∴r=1，
∴圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1．

點評 本題考查直線的截距式方程，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，易錯點是容易忽視a=b=0的情況，造成丟解．