數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn=
n
2
 
+3n
2
，數(shù)列{bn}滿足(bn+1)2=bn•bn+2(n∈N*)且b2=4，b5=32．
（1）分別求出數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=
an，n為奇數(shù)
bn，n為偶數(shù)
，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè)P=
n2
4
+24n-
7
12
，(n∈N*)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，試判斷方程Tn-P=2013是否有解，若有請(qǐng)求出方程的解，若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系，可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；確定{bn}為等比數(shù)列，可得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）分n為偶數(shù)與奇數(shù)，利用分組求和法，分別求和，可得結(jié)論；
（3）確定n≥5時(shí)，f（n）=Tn-P單調(diào)遞增，計(jì)算相應(yīng)函數(shù)值，可得結(jié)論．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=
n2+3n
2
-
(n-1)2+3(n-1)
2
=n+1，所以an=n+1（n≥2）
又n=1時(shí)，n+1=2=a1，所以an=n+1(n∈N*)…（2分）
因?yàn)?span id="qsn2m8h" class="MathJye">(bn+1)2=bn•bn+2(n∈N*)，所以{bn}為等比數(shù)列                              …（3分）
又b2=4，b5=32，所以公比為2，首項(xiàng)為2，所以bn=2n(n∈N*)…（4分）
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=（a1+a3+…+an-1）+（b2+b4+…+bn）
=(2+4+…+n)+(22+24+…+2n)=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)…（6分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，Tn+1=
(n+1)2+2(n+1)
4
+
4
3
(2n+1-1)=
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n+1-1)
所以Tn=Tn+1-Cn+1=
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n+1-1)-2n+1=
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n-1-1)…（8分）
即Tn=
n2+2n
4
+
4
3
(2n-1)，n為偶數(shù)
n2+4n+3
4
+
4
3
(2n-1-1)，n為奇數(shù)
…（9分）
（3）設(shè)f(n)=Tn-P=
n2
4
+n+
3
4
+
2n+1
3
-
4
3
-
n2
4
-24n+
7
12
=
2n+1
3
-23n…（10分）
∴f(n+2)-f(n)=
2n+3
3
-23(n+2)-(
2n+1
3
-23n)=2n+1-46…（11分）
∴當(dāng)x≥5時(shí)，f（n+2）-f（n）=2n+1-46＞0，此時(shí)f（n）單調(diào)遞增．
又f(5)=
26
3
-23×5=
64
3
-115＜0，f(11)=
212
3
-23×11=
4096
3
-253＜2013，f(13)=
214
3
-23×13=
16384
3
-299＞2013…（13分）
所以原方程無(wú)解．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，掌握數(shù)列的求和方法是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q≠1，Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，Tn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積，Tn（k）表示{an}的前n項(xiàng)中除去第k項(xiàng)后剩余的n-1項(xiàng)的乘積，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），則數(shù)列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n項(xiàng)的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
1
pn-q
，實(shí)數(shù)p，q滿足p＞q＞0且p＞1，sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（1）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，pan＜an-1；
（2）求證sn＜
p
(p-1)(p-q)
(1-
1
pn
)；
（3）若an=
1
(2n-1)(2n+1-1)
，求證sn＜
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=2，bn+1=2an+bn，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•商丘二模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{an}的各項(xiàng)按如下規(guī)律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下運(yùn)算和結(jié)論：
①a24=
3
8
；
②數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比數(shù)列；
③數(shù)列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n項(xiàng)和為Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整數(shù)k，使Sk＜10，Sk+1≥10，則ak=
5
7
．
其中正確的結(jié)論是
①③④
①③④
．（將你認(rèn)為正確的結(jié)論序號(hào)都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出下列命題：
①若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1，則數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
②在△ABC中，如果A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC有兩解；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x|x-a|+b，則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是a2+b2=0；
④設(shè)直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），則M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等．
其中真命題的序號(hào)是
③
③
．

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