Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a≥0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而分析函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分a=0時(shí)，0＜a≤

1

2

時(shí)，a＞

1

2

時(shí)三種情況，分析函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ） 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x+2lnx，
∴f′（x）=-1+

2

x

=

2-x

x

 （2分）
∵在區(qū)間（0，2）上，f′（x）＞0；
在區(qū)間（2，+∞）上，f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx（a≥0）
∴f′（x）=ax-（2a+1）+

2

x

=

(ax-1)(x-2)

x

�。�7分）
①當(dāng)a=0時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增，
故在（0，2]上，f（x）_max=f（2）=2ln2-2　　　　　　　　　　　　　　�。�9分）
②當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，

1

a

≥2，
在區(qū)間（0，2]上，f′（x）≥0恒成立；
故f（x）在（0，2]上單調(diào)遞增
故在（0，2]上，f（x）_max=f（2）=2ln2-2a-2　　　　　　　　　　　　　�。�11分）
③當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，0＜

1

a

＜2，
在區(qū)間（0，

1

a

]上，f′（x）≥0恒成立；
在區(qū)間[

1

a

，2]上，f′（x）≤0恒成立，
f（x）在（0，

1

a

]上單調(diào)遞增，在[

1

a

，2]上單調(diào)遞減，（9分）
故在（0，2]上f（x）_max=f（

1

a

）=-2-

1

2a

-2lna．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．