Question

5．已知拋物線(xiàn)C：x²=8y的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=x+2與C交于P、Q兩點(diǎn)，則$\frac{1}{|PF|}$+$\frac{1}{|OF|}$的值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合拋物線(xiàn)定義求得$\frac{1}{|PF|}$+$\frac{1}{|OF|}$的值．

解答 解：如圖，

由拋物線(xiàn)方程x²=8y，得焦點(diǎn)為F（0，2），
直線(xiàn)y=x+2過(guò)焦點(diǎn)F，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則由拋物線(xiàn)定義可得：|PF|=x₁+2，|QF|=x₂+2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$，得x²-8x-16=0，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=-16，
∴$\frac{1}{|PF|}$+$\frac{1}{|OF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+2}+\frac{1}{{x}_{2}+2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=$\frac{8+2}{-16+2×8+4}=\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．