Question

已知函數(shù).

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若,對都有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）證明：（且）.

 

Answer 1

【答案】

（I）當時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）.當m>0時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）. （Ⅱ）實數(shù)的取值范圍為.（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（I）應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.遵循“求導數(shù)，令導數(shù)大（小）于0，解不等式，求單調(diào)區(qū)間”.

（Ⅱ）將問題轉(zhuǎn)化成“對都有”，

通過求，得到函數(shù)在[2,2]上是增函數(shù)，

求得=g(2)=2-,利用2-，及得到實數(shù)的取值范圍為.

（Ⅲ）通過構(gòu)造函數(shù)，利用（I）確定的單調(diào)性得到，（當時取“=”號），利用“錯位相減法”求得S=

證得（）.

試題解析：（I）          1分

當時，在（0，+∞）單調(diào)遞增.        2分

當m>0時，由得    

由得

由得>        4分

綜上所述：當時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）.

當m>0時，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+∞）.      5分

（Ⅱ）若m=, ,對都有成立等價于對都有  6分

由（I）知在[2,2]上的最大值=  7分

函數(shù)在[2,2]上是增函數(shù)，

=g(2)=2-,     9分

由2-，得，又因為，∴∈

所以實數(shù)的取值范圍為.      10分

（Ⅲ）證明：令m=，則

由（I）知f(x)在（0,1）單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減，

，（當x=1時取“=”號）

       11分

<         12分

令S=        ①

2S=  ②

①-②得-S=

S=

（）         14分

考點：1、應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、2、最值、證明不等式，3、“錯位相減法”.