Question

設(shè)f（x）=

1

2

（1+x）（ax²+bx+c），g（x）=-e -x+

1

2

-|ln（x+1）|+k
（1）若f（x）的圖象關(guān)于x=-1對稱，且f（1）=2，求f（x）的解析式；
（2）對于（1）中的f（x），討論f（x）與g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于f（x）的圖象關(guān)于x=-1對稱，可得f（x）為二次函數(shù)，a=0，且 b=c，故有f（x）=

1

2

（1+x）（bx+b）．再根據(jù)f（1）=2，求得b=1，可得f（x）的解析式．
（2）f（x）與g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即

1

2

（x+1）²=-e-x+

1

2

-|ln（x+1）|+k 的解的個(gè)數(shù)，
即直線y=k和函數(shù)

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．令h（x）=

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的h（x）的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)h（x）的值域，可得直線y=k和h（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）由于f（x）=

1

2

（1+x）（ax²+bx+c）的圖象關(guān)于x=-1對稱，
故f（x）為二次函數(shù)，且對稱軸為x=-1，故有a=0，且 b=c，故有f（x）=

1

2

（1+x）（bx+b）．
再根據(jù)f（1）=2，求得b=1，故f（x）=

1

2

（x+1）²．
（2）f（x）與g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即

1

2

（x+1）²=-e-x+

1

2

-|ln（x+1）|+k 的解的個(gè)數(shù)，
即k=

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|的解得個(gè)數(shù)．
即直線y=k和函數(shù)

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
令h（x）=

1

2

（x+1）² +e-x+

1

2

+|ln（x+1）|，
當(dāng)x＞0時(shí)，ln（x+1）＞0，
∵h(yuǎn)′（x）=（1+x）-e-x+

1

2

+

1

x+1

≥2+e-x+

1

2

＞0，
∴h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
當(dāng)-1＜x≤0時(shí)，ln（x+1）≤0，h′（x）=（1+x）-e-x+

1

2

-

1

x+1

，
∵（x+1）-

1

x+1

＜0，e-x+

1

2

＞0，∴h′（x）＜0，
故h（x）在（-1，0]上是減函數(shù)．
∵h(yuǎn)（0）=

1

2

+e

1

2

，當(dāng)x趨于-1時(shí)，函數(shù)h（x）的值趨于正無窮大，
當(dāng)x趨于正無窮大時(shí)，函數(shù)h（x）的值趨于正無窮大，
①故當(dāng)k＜

1

2

+e

1

2

時(shí)，直線y=k和函數(shù)h（x）的圖象無交點(diǎn)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象無交點(diǎn)；
②當(dāng)k=

1

2

+e

1

2

時(shí)，直線y=k和函數(shù)h（x）的圖象有唯一交點(diǎn)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)；
③當(dāng)k＞

1

2

+e

1

2

時(shí)，直線y=k和函數(shù)h（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．