Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃a₇=-16，a₄+a₆=0．
（1）求a_n；
（2）若等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，設bn=(an+10)•2n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的性質可得：a₃+a₇=a₄+a₆=0，聯(lián)立

a3a7=-16 a3+a7=0

，解得a₃和a₇，進而得到公差d．即可得到a_n．
（2）由等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，取d＞0，可得a_n=2n-10．可得b_n=n•2ⁿ⁺¹．再利用“錯位相減法”即可得出．

解答： 解：（1）由等差數(shù)列的性質可得：a₃+a₇=a₄+a₆=0，
聯(lián)立

a3a7=-16 a3+a7=0

，
解得a₃=-a₇=4，或a₃=-a₇=-4．
則公差d=-2或2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=10-2n或a_n=2n-10．
（2）∵等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
∴a_n=2n-10．
∴bn=(an+10)•2n=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
可得2S_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-Sn=22+23+…+2n+1-n×2n+2=

4×(2n-1)

2-1

-n×2n+2=（1-n）×2ⁿ-4，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺²+4．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質、等比數(shù)列的前n項和公式、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．