Question

如圖，已知三棱錐A-BCD的側(cè)視圖，俯視圖都是直角三角形，尺寸如圖所示．
（1）求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值；
（2）在線(xiàn)段AC上是否存在點(diǎn)F，使得BF⊥面ACD？若存在，求出CF的長(zhǎng)度；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）取BD的中點(diǎn)O，連AO，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出異面直線(xiàn)AB與CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值；
（2）設(shè)

CF

=λ

CA

，根據(jù)BF⊥面ACD，則BF⊥CA，BF⊥AD，我們分別求出BF，CA，AD對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，結(jié)合向量垂直數(shù)量積為0，可以構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出滿(mǎn)足條件的λ值，進(jìn)而即可求出CF的長(zhǎng)度；

解答：解：（1）取BD的中點(diǎn)O，連AO，則AO⊥面CBD．
以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
A（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2

3

，0），D（-1，0，0）．

AB

=(1，0，-1)，

CD

=(-2，-2

3

，0)，cos＜

AB

，

CD

＞=-

2

4

．
所以所求異面直線(xiàn)AB與CD所成角的余弦值為

2

4

；                       （5分）
（2）設(shè)

CF

=λ

CA

，
則

BF

=

BC

+

CF

=(-λ，2

3

(1-λ)，λ)
由BF⊥面ACD得：

BF • CA =2λ-12(1-λ)=0 BF • AD =λ-λ=0

解得λ=

6

7

，
|

CF

|=

6

7

|

CA

|=

6

7

14

，（5分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線(xiàn)及其所成的角，直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì)，其中建立空間直角坐標(biāo)系，將空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的夾角問(wèn)題，直線(xiàn)與直線(xiàn)的垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．