Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-2a|+|x-a|，a∈R，a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，解不等式f（x）＞3；
（Ⅱ）若b∈R，且b≠0，證明：f（b）≥f（a），并說明等號成立的條件．

Answer 1

分析 （I）將a=1代入，不等式化為具體的絕對值不等式，然后討論解之；
（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|≥|2a-b+b-a|=|a|，得證．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍=1，不等式變?yōu)閨x-2|+|x-1|＞3，-----1
當(dāng)x＞2時，有2x-3＞3，
∴x＞3-----2
當(dāng)1≤x≤2時，有2-x+x-1＞3，
∴x∈φ-------3
當(dāng)x＜1時，有3-2x＞3，
∴x＜0--------4
所以該不等式的解集為（-∞，0）∪（3，+∞）------5
證明：（Ⅱ）由題知f（a）=|a|，
f（b）=|b-2a|+|b-a|=|2a-b|+|b-a|------7
≥|2a-b+b-a|=|a|-------8
即f（b）≥f（a），
所以等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)2a-b與b-a同號或它們至少有一個為零．---10

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查了討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．