Question

已知曲線

x2

a2

+

y2

b2

=1(a≥b＞0)恒過點P(

3

，1)，當a，b變化時，所有這曲線上滿足y≥1的點組成的圖形面積等于

 

．

Answer 1

分析：由題意可知，圖形面積是一個常數(shù)，不妨假設(shè)a=b，則曲線表示一個圓，把點P的坐標代入得 a=2，設(shè)Q（-

3

，1），則∠POQ=

2π

3

，則滿足y≥1的點組成的圖形是一個弓形，用扇形面積減去等腰三角形的面積即為所求．

解答：解：由題意可知，圖形面積是一個常數(shù)，不妨假設(shè)a=b，曲線即 x²+y²=a²，
把點P的坐標代入可得a=2．
設(shè)Q （-

3

，1），則∠POQ=

2π

3

，則滿足y≥1的點組成的圖形是一個弓形，
故所求的圖形面積等于

1

2

•

2π

3

•2²-

1

2

×2×2sin

2π

3

=

4π

3

-

3

，
故答案為

4

3

π-

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓中弓形面積的求法，得到所求的圖形面積等于

1

2

•

2π

3

•2²-

1

2

×2×2sin

2π

3

，是解題的關(guān)鍵．