Question

12．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的極坐標(biāo)方程為：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{6}$=0．
（1）寫(xiě)出曲線C和直線l在直角坐標(biāo)系下的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得普通方程．直線l的極坐標(biāo)方程為：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{6}$=0，展開(kāi)可得：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$+3$\sqrt{6}$=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{6}|sin（θ-\frac{π}{4}）-3|}{2}$，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$ （θ為參數(shù)），
可得普通方程：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
直線l的極坐標(biāo)方程為：2ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）+3$\sqrt{6}$=0，
展開(kāi)可得：2ρ$（\frac{1}{2}cosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$+3$\sqrt{6}$=0，
化為：x-$\sqrt{3}$y+3$\sqrt{6}$=0．
（2）設(shè)P$（\sqrt{3}cosθ，sinθ）$，
點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-\sqrt{3}sinθ+3\sqrt{6}|}{2}$=$\frac{\sqrt{6}|sin（θ-\frac{π}{4}）-3|}{2}$≥$\frac{\sqrt{6}×2}{2}$=$\sqrt{6}$，
當(dāng)sin$（θ-\frac{π}{4}）$=1時(shí)取等號(hào)．
∴點(diǎn)P到直線l的距離的最小值是$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、平方關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．