Question

已知：定點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B是⊙F：（x-1）²+y²=8（F為圓心）上的動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于點(diǎn)G，記點(diǎn)G的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與曲線E交于P、Q兩點(diǎn)．在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)？若存在，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用橢圓的定義判斷點(diǎn)G的軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓，求出a、b的值，即得橢圓的方程．
（II）分類討論，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意得 圓心F（1，0），半徑等于2

2

，|GA|=|GB|，
∴|GF|+|GA|=|GF|+|GB|=|BF|=半徑2

2

＞|AF|，
故點(diǎn)G的軌跡是以A、F 為焦點(diǎn)的橢圓，2a=2

2

，c=1，∴b=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1；
（II）設(shè)x軸上存在一點(diǎn)M（t，0），使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù) 
①直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），
把直線l的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得（3k²+2）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
∴x₁+x₂=-

6k2

2+3k2

，x₁x₂=

3k2-6

2+3k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²[x₁x₂+（x₁+x₂）+1]，
∴

MP

•

MQ

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+（k²-t）（x₁+x₂）+k²+t²
=

(6t-1)k2-6

2+3k2

+t2
∵

MP

•

MQ

為常數(shù)，
∴

6t-1

3

=

-6

2

，
∴t=-

4

3

，
此時(shí)

MP

•

MQ

=-

11

9

．…（11分）
②當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(-1，

2 3

3

)、(-1，-

2 3

3

)，
當(dāng)t=-

4

3

時(shí)，亦有

MP

•

MQ

=-

11

9

．…（12分）
綜上，在x軸上存在定點(diǎn)M(-

4

3

，0)，使得

MP

•

MQ

恒為常數(shù)，且這個(gè)常數(shù)為-

11

9

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法求點(diǎn)的軌跡方程，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，考查韋達(dá)定理，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．