Question

【題目】給定二次函數(shù).

（1）證明：方程的根也一定是方程的根；

（2）找出方程有4個(gè)不等實(shí)根的充要條件.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)

【解析】

（1）設(shè)是方程的根（不動(dòng)點(diǎn)），則. ①

代入方程，有左邊（由①）（由①）右邊.

這表明也是方程的根.

（2）必要性.由上證，二次方程 ②的根，都是四次方程 ③的根，所以，方程③有四個(gè)不等實(shí)根時(shí)，其中有兩個(gè)不等實(shí)根是由②得到的.由此得出結(jié)論：

二次方程②的判別式大于0，即. ④

方程③所對(duì)應(yīng)的四次多項(xiàng)式一定含有二次因式.這提示我們作定向分解，并找出的另一個(gè)二次因式.

由

.

可見(jiàn)，為使方程③有四個(gè)不等實(shí)根，二次方程

⑤

應(yīng)有判別式大于0，即

. ⑥

將④、⑥合并，得方程③有四個(gè)不等實(shí)根的必要條件為. ⑦

充分性.若⑦成立，則④、⑥均成立，方程②、⑤均有兩個(gè)不等實(shí)根.又若存在是方程②、⑤的公共根，則有.代入方程②，得.

故，矛盾.

從而，方程③有四個(gè)不等實(shí)根.

綜上所述，方程有四個(gè)不等實(shí)根的充分必要條件是.