Question

已知函數(shù)的圖象，它與y軸的交點(diǎn)為（），它在y軸右側(cè)的第一個最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心．
（3）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

解：（1）由題意可得A=3，由在y軸右側(cè)的第一個最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)分別為（x₀，3），（x₀+2π，-3）得，
∴T=4π從而
又圖象與y軸交于點(diǎn)，
∴?
由于，
∴
函數(shù)的解析式為
（2）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3711.png' />∈，k∈Z，所以x∈，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：；
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/49699.png' />，解得x=，所以函數(shù)的對稱中心：
（3）將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移個單位，再將所得函數(shù)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，最后將所得函數(shù)的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍得到函數(shù)的圖象．
分析：（1）通過函數(shù)的最大值點(diǎn)求出A，最大值與最小值的橫坐標(biāo)求出函數(shù)的周期，然后求出ω，利用函數(shù)經(jīng)過（），以及φ的范圍，求出φ，然后得到函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）通過（1）的函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間好對稱中心，直接求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心．
（3）通過左加右減的原則，可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過向左平移和縱坐標(biāo)伸長伸的變換得到函數(shù)的解析式．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，考查計算能力，注意平移時x的系數(shù)，避免錯誤．