已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2).求過點P(1,2)的直線l的斜率k的取值范圍,使l與C只有一個交點;
當k=±或k=
或k不存在時,l與C只有一個交點.
【解析】本試題主要是考查了直線與雙曲線的位置關系的綜合運用。根據(jù)已知中的曲線方程和點P的坐標,設出直線方程,然后聯(lián)立方程組,進而結合方程有一個解,得到參數(shù)k的范圍和參數(shù)k的值。
解:設直線l的方程為y-2=k(x-1),
代入雙曲線C的方程,整理得
(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(*)
當2-k2=0,即k=±時,直線與雙曲線的漸近線平行,此時只有一個交點.
②當2-k2≠0時,令Δ=0,得k=.此時只有一個公共點.
又點(1,2)與雙曲線的右頂點(1,0)在直線x=1上,而x=1為雙曲線的一條切線.
∴當k不存在時,直線與雙曲線只有一個公共點.
綜上所述,當k=±或k=
或k不存在時,l與C只有一個交點.
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已知雙曲線C:2x2-y2=2與點P(1,2)
(1)求過P(1,2)點的直線l的斜率取值范圍,使l與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點.
(2)若Q(1,1),試判斷以Q為中點的弦是否存在.
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