Question

（2010•桂林二模）（注意：在試題卷上作答無效）
桂林某學校從參加高三年級第二次模擬考試的學生中隨機抽出100名學生，將其數學成績（均為整數）分成五段[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]后得到如右部分頻率分布直方圖，分析圖形的信息，回答下列問題：
（Ⅰ）求分數在[90，110）內的頻率和學生數，并補全這個頻率分布直方圖；
（Ⅱ）現(xiàn)從分數段[90，150]的學生中隨機抽取2人給予助學金獎勵，抽到的學生成績在[90，110）內每人獎勵100元，在[100，130）內每人獎勵200元，在[130，150）內每人獎勵300元，用ξ表示抽取結束后總的獎勵金額，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）根據所求的頻率的和為1可求出分數在[90，110）內的頻率，該頻率乘以樣本容量，可求頻數，即為分數在[90，110）內的學生數，然后計算出在[90，110）的高，補全圖形即可；
（II）先分別求出成績在[90，110）、[110，130）、[130，150）內的人數，ξ的可能取值為200，300，400，500，600，然后根據古典概型的概率公式求出相應的概率，列出分布列，最后根據數學期望公式解之即可．

解答：解：（I）設分數在[90，110）內的頻率為x，根據頻率分布直方圖有
∵1-（0.005+0.01+0.02+0.005）×20=0.2
∴x=0.2，100×0.2=20人，

0.2

20

=0.01
∴分數在[90，110）內的頻率為0.2，學生數為20人
所以頻率分布直方圖如右圖所示．
（II）由圖知成績在[90，110）內有100×0.01×20=20人，在[110，130）內有100×0.02×20=40人，
在[130，150）內有100×0.005×20=10人，共有70人
ξ的可能取值為200，300，400，500，600
則P（ξ=200）=

C 2 20

C 2 70

=

38

483

，P（ξ=300）=

C 1 20 C 1 40

C 2 70

=

160

483

P（ξ=400）=

C 1 20 C 1 10 + C 2 40

C 2 70

=

196

483

P（ξ=500）=

C 1 10 C 1 40

C 2 70

=

80

483

P（ξ=600）=

C 2 10

C 2 70

=

9

483

∴ξ的分布列為

ξ	200	300	400	500	600
P	38 483	160 483	196 483	80 483	9 483

∴Eξ=200×

38

483

+300×

160

483

+400×

196

483

+500×

80

483

+600×

9

483

=360
答：所求的數學期望為360元．

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，以及離散型隨機變量的分布列和數學期望，同時考查了計算能力，屬于中檔題．