Question

4．若圓（x-3）²+y²=1上只有一點到雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線的距離為1，則該雙曲線離心率為（　�。�

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 圓（x-3）²+y²=1上只有一點到雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線的距離為1，圓心到漸近線bx+ay=0的距離d=$\frac{|3b|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=2，得出a，b的關系，可得a，c的關系，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：∵圓（x-3）²+y²=1上只有一點到雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線的距離為1，
∴圓心到漸近線bx+ay=0的距離d=$\frac{|3b|}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=2，
∴∴b²=$\frac{4}{5}$a²，∴c²=$\frac{9}{5}$a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故選A．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查雙曲線的方程與性質，屬于中檔題．