Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、B是長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MB⊥AB，聯(lián)結(jié)AM，交橢圓于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)a=2，b=

2

時(shí)，設(shè)M（2，2），求

OP

•

OM

的值；
（2）若

OP

•

OM

為常數(shù)，探究a、b滿足的條件？并說(shuō)明理由；
（3）直接寫出

OP

•

OM

為常數(shù)的一個(gè)不同于（2）結(jié)論類型的幾何條件．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)斜式可得AM的方程，與橢圓的方程聯(lián)立可得點(diǎn)P，利用數(shù)量積可得

OP

•

OM

；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（a，t）（t≠0），利用A、P、M三點(diǎn)共線，可得

y0

x0+a

=

t

2a

，即t=

2ay0

x0+a

．利用

x02

a2

+

y02

b2

=1，可得y02=

b2(a-x0)(a+x0)

a2

．于是

OP

•

OM

=2b2+

a2-2b2

a

x0．令a²-2b²=0即可．
（3）利用（2）中的：a²=2b²即可給出：“設(shè)F₁為橢圓的焦點(diǎn)，C為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)△COF₁為等腰三角形時(shí)，

OP

•

OM

為常數(shù)2b²或a²．”或給出“當(dāng)PB⊥OM時(shí)，

OP

•

OM

為常數(shù)2b²或a²．”

解答：解 （1）直線AM：y=

1

2

(x+2)，
與橢圓的方程聯(lián)立

y= 1 2 (x+2) x2 4 + y2 2 =1

，解得P(

2

3

，

4

3

)．
∴

OP

•

OM

=(

2

3

，

4

3

)•(2，2)=4．     
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（a，t）（t≠0），
∵A、P、M三點(diǎn)共線，于是

y0

x0+a

=

t

2a

，即t=

2ay0

x0+a

．   
又

x02

a2

+

y02

b2

=1，即y02=

b2(a-x0)(a+x0)

a2

．        
∴

OP

•

OM

=ax0+ty0=ax0+

2ay02

x0+a

=ax0+

2b2(a-x0)

a

=2b2+

a2-2b2

a

x0．
∴當(dāng)a²-2b²=0時(shí)，

OP

•

OM

為常數(shù)2b²． 
（3）給出“設(shè)F₁為橢圓的焦點(diǎn)，C為短軸的頂點(diǎn)，當(dāng)△COF₁為等腰三角形時(shí)，

OP

•

OM

為常數(shù)2b²或a²．”
或給出“當(dāng)PB⊥OM時(shí)，

OP

•

OM

為常數(shù)2b²或a²．”

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、數(shù)量積運(yùn)算、三點(diǎn)共線問(wèn)題與直線斜率的關(guān)系、探究性問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．