如圖，直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE＝EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．

(1)求證AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B－AC－E的大小；

(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

答案：
解析：

　　解法一：(1)平面ACE．

　　∵二面角D－AB－E為直二面角，且，

　　平面ABE．

　　　4分

　　(2)連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG，

　　∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，∴BG⊥AC，BG＝，

　　平面ACE，由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC．

　　是二面角B－AC－E的平面角．

　　由(Ⅰ)AE⊥平面BCE，又，

　　∴在等腰直角三角形AEB中，BE＝．又直角

　　，

　　∴二面角B－AC－E等于　8分

　　(3)過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)O．OE＝1．

　　∵二面角D－AB－E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD．

　　設(shè)D到平面ACE的距離為h，

　　平面BCE，

　　∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為　12分

　　解法二：(Ⅰ)同解法一．

　　(Ⅱ)以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖．

　　面BCE，BE面BCE，

　　，在的中點(diǎn)，

　　

　　設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，

　　則

　　解得

　　令得是平面AEC的一個(gè)法向量．

　　又平面BAC的一個(gè)法向量為，

　　

　　∴二面角B－AC－E的大小為

　　(Ⅲ)∵AD∥z軸，AD＝2，∴，

　　∴點(diǎn)D到平面ACE的距離


練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)直三棱柱A1B1C1-ABC的三視圖如圖所示，D、E分別為棱CC1和B1C1的中點(diǎn)．精英家教網(wǎng)
 （1）求點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離；
（2）求二面角B-A1D-A的余弦值；
（3）在AC上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面A1BD，若存在確定其位置，若不存在，說明理由．

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如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn)，DE⊥平面BCC1，二面角A-BD-C的大小為
π3
．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求B1C與平面BCD所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直三棱柱A1B1C1-ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn)．
（1）求A1B與平面A1C1CA所成角的正切值；
（2）求二面角B-A1D-A的平面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•唐山一模）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，AAi=3，∠ACB=90°，D為CCi上的點(diǎn)，二面角A-A1B-D的余弦值為-
3
6
．
（I ）求證：CD=2；
（II）求點(diǎn)A到平面A1BD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直四棱柱A1B1C1D1-ABCD的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4，且∠DAB=60°的菱形，O是AC與BD的交點(diǎn)，O1是A1C1與B1D1的交點(diǎn)．
（I） 求二面角O1-BC-D的大�。�
（II） 求點(diǎn)A到平面O1BC的距離．

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