Question

【題目】若定義域為R的偶函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，且當x∈[0，2]時，f（x）=2﹣x2 ， 則方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]內(nèi)根的個數(shù)是 ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：定義域為R的偶函數(shù)y=f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，即足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x），故f（x）的周期為4．
且當x∈[0，2]時，f（x）=2﹣x2 ， 則當x∈[﹣2，2]時，f（x）=2﹣x2 ．
再畫出y=f（x）以及y=2sinx在[﹣3π，3π]內(nèi)的圖象，如圖所示：
數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)y=f（x）的圖象和函數(shù)y=2sinx在[﹣3π，3π]內(nèi)的圖象的交點個數(shù)為5個，
則方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]內(nèi)根的個數(shù)是5，
故答案為：5．

先求得偶函數(shù)f（x）的周期為4，根據(jù)當x∈[0，2]時，f（x）=2﹣x2 ， 再畫出y=f（x）以及y=2sinx在[﹣3π，3π]內(nèi)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．